Abstract:
Рассмотрена обратная задача восстановления источников тепла для уравнения диффузии. Предполагается, что
функция источника представлена в виде произведения f(x)h(t), где функция f(x) неизвестна, а функция h(t)
задана. В качестве дополнительных данных используются измерения на границе области, но требуется восстановить
пространственное распределение источников. Задача решается методом минимизации функционала невязки. Для
численного решения задачи реализован метод общей регрессии - наилучшего подбора коэффициентов системы
функций для приближения измеренных данных. Численно показана принципиальная возможность удовлетворительного
восстановления неизвестных источников в случае гладкой правой части.
Description:
Мы рассматриваем обратную задачу восстановления правой части для
уравнения диффузии. Уравнение диффузии служит для описания процессов диффузии
примесей и загрязнений в среде, в задачах распростанения тепла ([1],[2]). Практически
важной является задача определения локализации и мощности источников примесей. При этом
исследователю доступны только измерения в некоторые моменты времени, или измерения лишь
на границе интересующей области. В наших предыдущих работах [3],[4] мы восстанавливали
распределение источников по финальным измерениям температуры. Основным методом
исследования являлось совместное решение прямой и сопряженной задач, полученной из
необходимых условий минимума функционала невязки. Оказалось, что решение может быть
достигнуто с высокой точностью. В данной работе мы рассматриваем задачу восстановления
пространственной плотности источников по граничным измерениям температуры. Физически
это означает, что исследователю доступна для измерений только граница области, а требуется
определить распределение источников внутри области.
